大学院理工学研究科　2004年度
物性物理学特論第4回(平成16年11月1日)
  －光と磁気の現象論(3):反射とKerr効果－
非常勤講師： 佐藤勝昭　（東京農工大学工学系大学院教授）
http://www.tuat.ac.jp/~katsuaki/Keio/Keio2004.html

復習コーナー 第3回に学んだこと
1.	 光の伝搬とマクスウェルの方程式
•	 固有解：波動解、固有値：複素屈折率
2.	 ファラデー配置の場合の固有値と固有状態 
•	 ２つの固有値と対応する固有状態（円偏光） 
3.	 フォークト配置の場合の固有値と固有状態 
•	 磁気誘起の複屈折 
4.	 ファラデー効果の現象論 
•	 ファラデー効果と誘電率テンソル 
マクスウェル方程式をEとHで表す
1.	簡単のため， J=0と置く。[伝導電流 を分極電流（変位電流）の中に繰り込む]
2.	B とH 、D とE の関係式

 
を代入して、

平面波の解を仮定する
1.	波数ベクトルKとして

ここにＥ0，Ｈ0は時間や距離に依存しない定数ベクトルである。この式を式(3.18)に代入すると、

となる。

固有方程式
両式からHを消去し、固有方程式として

が得られる。問題3.1参照

ファラデー配置の場合
磁化がz軸方向にあるとして、z軸に平行に進む波(N //z)に対して電界は 

と表される。固有方程式は

と書ける。
この方程式がE0の解をもつためには、上式においてEの係数の行列式が0でなければならない。こうして次の永年方程式を得る。(問題3.2参照)

これより、N2の固有値として２個の値 

を得る。　　
これらの固有値に対応する固有関数は、

・E+、E-は、それぞれ、右円偏光、左円偏光に対応する。

フォークト配置の場合
N2の固有値として

および

という２つの解を得る。 N1およびN2に対応する固有関数は 

となり、複屈折を生じる。(コットンムートン効果)

3.3のまとめ
•	光の伝搬をマクスウェルの方程式で記述すると，磁化された等方性物質の屈折率Nは

で与えられる２つの固有値をとり，それぞれが右円偏光および左円偏光に対応する．（ここに，εxxは誘電テンソルの対角成分，εxyは非対角成分である．）もし，εxyが０であれば，円偏光は固有関数ではなく，磁気光学効果は生じない．

ファラデー効果の式

磁気光学Kerr 効果
•	 反射の磁気光学効果を磁気光学カー効果(MOKE) という
1.	 通常の反射の法則を導く：電界に対する反射率＝複素振幅反射率(Fresnel 係数)
2.	 右回り円偏光に対するFresnel 係数と左回り円偏光に対するFresnel 係数の差を考える。位相の差からKerr 回転が振幅の差からKerr  楕円率が導かれる。
 
斜め入射の場合の反射
•	反射は界面における電磁波の伝搬の境界条件により決められる。

Ｚ

Ｘ

E0p

E1p

E2p

法線

0

１

２

K0

K１

K２

スネルの法則
•	Kのx成分の連続性
•	K0sin0=K1sin1＝K2sin 2
•	K0=K1=N1/c, K2=N2/cを代入
•	N1sin0=N1sin1→ 0=1；N1sin1＝N2sin 2

K0

K1

K2

0

1

2

１

２

電界・磁界の界面における連続性(1)
•	界面における電界p成分の連続性

0

1

2

１

２

E0p

E1p

E2p

E0pｘ

E1pｘ

E2pｘ

0

電界・磁界の界面における連続性(2)
•	界面における電界s成分の連続性

Y

E1s

E0s

E2s

電界・磁界の界面における連続性(3)
•	界面における磁界p成分の連続性

電界・磁界の界面における連続性(4)
•	界面における磁界s成分の連続性

電界と磁界の界面における連続性(5)
•	E2Pを消去

E2Sを消去

複素振幅反射率(Fresnel係数)
エリプソメトリ(偏光解析）
•	　azimuth (方位角)
•	  phase (位相差)
•	反射は方位角と位相差=p-sによって記述できる。反射光は一般には楕円偏光になっているが、そのｐ成分とｓ成分の逆正接角と位相差を測定すればrが求められる。（測定には1/4波長板と回転検光子を用いる。）この方法を偏光解析またはエリプソメトリという。 
P 偏光反射率とS 偏光反射率
•	第１の媒体が真空、第２の媒体の複素屈折率がNの場合
 入射角に依存する反射率
•	 Ｐ偏光とS 偏光では反射率の入射角依存性が異なる。 
 反射と偏光：Brewster 角
•	もし、ψ0＋ψ2＝π/2であれば、tanが発散するため、Rpは0となる。
•	このとき、反射光はS偏光のみとなる。  
•	 このときの入射角をBrewster angle という。 
垂直入射のFresnel 係数 
•	垂直入射の場合、0＝0、従って1＝0。このとき電界に対するFresnel 係数rとして、

 　　　　　　　　　　　　　　　（媒質1 が真空のとき）
 　を得る。これより、
 垂直入射の光強度反射率と位相
•	R＝r*r=|r|2は光強度の反射率、は反射の際の位相のずれ 

 反射率と位相
•	Kramers-Kronig( クラマースクローニヒ）の関係
Kramers-Kronig  の関係
•	 応答を表す物理量の実数部と虚数部の間に成立　（P は積分の主値を表す。）
KK 変換の微分性
•	第２式を部分積分すると

•	右辺の第１項は0であるから、結局第２項のみとなる。はx～付近で大きい値をとるので、“は‘の微分形に近いスペクトル形状を示すことになる。 
•	‘がピークを持つでは“は急激に変化し、
’が急激に変化する付近で”は極大
（または極小）を示す．  
KK 変換の微分性(磁気光学)
K-K 関係の数学的説明
•	線形応答関数f ()が、図に示すωの複素平面の上半面内で正則、かつ上半平面で　|  |→∞において|f()|→0、さらに実数に対しf'(- )=f'()、f"(- )=-f"()であるような性質を持っておればよい。このような条件が成り立つとき、コーシーの積分公式によってπif()=∮d  'f( ')/( '- ) が成立する。
 つづき
•	f(ω)=f'(ω)+if"(ω)を代入し、両辺の実数部、虚数部がそれぞれ等しいとおくことによって導くことができる。
•	ωの複素平面の上半面内で正則、かつ、上半平面で|ω|→∞において|f(ω)|→0という条件は、t=0において外場が加えられたときの応答はt>0におきるという因果律に対応している。
Kerr 効果
•	磁気カー回転角K

•	磁気カー楕円率K
 複素カー回転 
•	磁気カー回転角Kと磁気カー楕円率Kをひとまとめにした複素カー回転K を考える。

 複素カー回転を誘電率で表す(1)
•	rをNを使って表し、 Nをεで表す。
 複素カー回転を誘電率で表す(2)

•	この式から，カー効果が誘電率の非対角成分xyに依存するばかりでなく，分母に来る対角成分xxにも依存することがわかる．この式の対角成分xxを光学定数n, によって表すと，
 複素カー回転を誘電率で表す(3)
•	カー回転角・楕円率は’xyと ”xyの１次結合で表され、下の式で書ける。
プラズマ・エンハンスメント
•	複素カー回転角は誘電率の非対角成分だけでなく、対角成分にも関係する。
•	プラズマ振動数においてエンハンス（増大）が起きる。
•	例：PtMnSbのカー回転のピーク