大学院理工学研究科　2004年度　物性物理学特論第6回
  －磁気光学効果の電子論(2):量子論－
非常勤講師： 佐藤勝昭（東京農工大学工学系大学院教授）
http://www.tuat.ac.jp/~katsuaki/Keio/Keio2004.html

磁気光学効果の量子論
•	電気分極と摂動論
•	時間を含む摂動論
•	誘電率の対角成分の導出
•	誘電率の非対角成分の導出
•	磁気光学効果の物理的説明
•	磁気光学スペクトルの形状

電気分極と摂動論 
•	電気分極とは，「電界によって正負の電荷がずれることにより誘起された電気双極子の単位体積における総和」 
•	「電界の効果」を，電界を与える前の系(無摂動系)のハミルトニアンに対する「摂動」として扱う。
•	「摂動を受けた場合の波動関数」を「無摂動系の固有関数」の1次結合として展開。この波動関数を用いて「電気双極子の期待値」を計算。 

時間を含む摂動論(1)
•	無摂動系の基底状態の波動関数を0(r)で表し，
•	

j番目の励起状態の波動関数をj(r) で表す．
•	無摂動系のシュレーディンガー方程式
H 00(r) =00(r) 
 H 0j(r) = j Ej(r) 
•	光の電界E(t)=E0exp(-it)+c.c.  (c.c.=共役複素数)
•	摂動のハミルトニアン
H’=er･E(t)

時間を含む摂動論(2)
•	摂動を受けた系のシュレーディンガー方程式

(4.23)

この固有関数を，無摂動系の(時間を含まない)固有関数のセットで展開

(4.24)

この式を式(4.23)に代入し，無摂動系の波動関数について成立する式(4.22)を代入すると 

時間を含む摂動論(3)

•	左から*j(r)をかけて，rについて積分すると

(4.25)

時間を含む摂動論(4)

•	この式を積分することにより式(4.24)の展開係数cj(t)が求められる． 

(4.26)
この係数は，摂動を受けて，励起状態の波動関数が基底状態の波動関数に混じり込んでくる度合いを表している．

誘電率の対角成分の導出
•	電気分極Pの期待値を計算
 (入射光の角周波数と同じ成分 )
(4.27)

(4.28)

誘電率の対角成分の導出(1)
•	有限の寿命を考える：i  の置き換えをする。 

(4.31)

ここにfは振動子強度で次式で定義される。

(4.31)を誘電率に変換すると、

(4.32)

誘電率の非対角成分の導出(1) 
•	

非対角成分:y方向の電界がEy(t)が印加されたときの，
分極Pのx成分の期待値

誘電率の非対角成分の導出(2)
という置き換えをすると若干の近似のもとで 

ここに

は

右および左円偏光により基底状態|0>から，励起状態|j>に遷移する確率 

は円偏光についての振動子強度 

誘電率に変換すると

磁気光学効果の 量子論
•	磁化の存在→スピン状態の分裂
•	左右円偏光の選択則には影響しない
•	スピン軌道相互作用→ 軌道状態の分裂 
•	右( 左) 回り光吸収→ 右( 左) 回り電子運動誘起 
•	大きな磁気光学効果の条件 
•	遷移強度の強い許容遷移が存在すること 
•	スピン軌道相互作用の大きな元素を含む 
•	磁化には必ずしも比例しない 

電子分極のミクロな扱い

=

+

+

+

+　・・

+

+

-

-

無摂動系の
波動関数

電界の摂動を受けた
波動関数

E

s-電子的

p-電子的

無摂動系の固有関数で展開

＝

＋

＋・・・・

摂動を受けた
波動関数

|1>

|0>

|2>

<0|x|1>

<1|x|0>

円偏光の吸収と電子構造

Lz=0

Lz=+1

Lz=-1

s-like

p-=px-ipy

p+=px+ipy

px-orbital

py-orbital

光の電界

１0

20

１0-

20-

|0>

|1>

|2>

10 は20 より光エネルギーに近いので左回りの状態の方が右回り状態より多く基底状態に取り込まれる

スピン軌道相互作用の重要性

L=1

L=0

LZ=+1,0,-1

LZ=0

Jz=-3/2

Jz=-1/2

Jz=+1/2

Jz=+3/2

Jz=-1/2

Jz=+1/2

交換分裂

交換相互作用
+スピン軌道相互作用

磁化なし

反磁性型スペクトル

励起状態

基底状態

0

1

2

磁化の無いとき

磁化のあるとき

Lz=0

Lz=+1

Lz=-1

1+2

光子エネルギー

光子エネルギー

’xy

”xy

大きな磁気光学効果を持つ条件：・光学遷移の振動子強度 f が大きい・スピン軌道相互作用が大きい・遷移のピーク幅が狭い

誘電率の非対角成分のピーク値